Physicspedia.org

পদার্থবিজ্ঞানের পাঠশালা

ভেক্টর রাশির ক্রস গুণন

আগের পরিচ্ছেদে দুটি ভেক্টরের স্কেলার বা ডটগুণন সম্পর্কে শিখেছো। এই পরিচ্ছেদে আলোচনা করবো ভেক্টরগুণন নিয়ে। দুটি ভেক্টর রাশির গুণফল যখন আরেকটি ভেক্টর রাশি হয়, তাকে ভেক্টর গুণন বলা হয়ে থাকে।

দুটি ভেক্টর u⃗,v⃗\vec{u},\vec{v} যদি একে অপরের সাপেক্ষে θ\theta কোণ তৈরি করে তাহলে তাদের ভেক্টরগুণন রাশিদুটির মানের গুণফল এবং তাদের মধ্যবর্তী কোণের sin⁡\sin এর গুণফলের সমান। ভেক্টরগুণন বোঝাতে রাশিদুটির মাঝে ক্রস (×)(\times) চিহ্ন ব্যবহার করা হয়ে থাকে, এজন্য ভেক্টরগুণনকে অনেকসময় ক্রসগুণনও বলা হয়। গাণিতিকভাবে ভেক্টররাশির ক্রসগুণনকে প্রকাশ করা হয়-

u⃗×v⃗=n^∣u⃗∣∣v⃗∣sin⁡θ\begin{align} \vec{u}\times\vec{v}=\hat{n}|\vec{u}||\vec{v}|\sin\theta \end{align}

অনেকেই হয়তো ভাবছো ক্রসগুণনের গাণিতিক প্রকাশে n^\hat{n} কোথাথেকে আসলো? আর এর মানেই বা কী? আগেই বলেছি, ক্রসগুণনের গুনফল একটি ভেক্টর রাশি হবে, আর তোমরা জানো যে ভেক্টররাশির একটি নির্দিষ্ট দিক থাকে। n^\hat{n} ক্রসগুণফলের দিকটিকেই নির্দেশ করে এবং এটি হচ্ছে একটি নরমাল ভেক্টর।

দুটো ভেক্টরের ক্রসগুণফল একটি ভেক্টর রাশি যার দিক ভেক্টরদুটির সাপেক্ষে লম্ব হবে।

ক্রসগুণনের ডানহাতি রুল

এখন প্রশ্ন করতে পারো, ক্রসগুণনের ক্ষেত্রে এই নরমাল ভেক্টরটির দিক কিভাবে হিসাব করবে? দিক হিসাবের জন্য খুব সহজ একটা নিয়ম রয়েছে; সেটাকে বলা হয় ডানহাতি রুল। নিচের ছবিটা খেয়াল করো, ডানহাতের তর্জনীকে নিয়ে প্রথম ভেক্টরটির দিকে নির্দেশ করো, আর মধ্যম আঙ্গুল দিয়ে দ্বিতীয় ভেক্টরটিকে নির্দেশ করো।

তাহলে হাতের বৃদ্ধাঙ্গুল যেদিকে নির্দেশ করছে সেটিই হবে এই নরমাল ভেক্টরটির দিক।

ক্রসগুণনের জ্যামিতিক ব্যাখ্যা

ক্রসগুণনের ধর্মাবলী

  • ১. দুটি ভেক্টরের ক্রসগুণন anti-commutative। অর্থাৎ দুটি ভেক্টর u,v∈Vu,v\in V হলে-
u⃗×v⃗=−v⃗×u⃗ \begin{align*} \vec{u}\times\vec{v} &= -\vec{v}\times\vec{u} \end{align*}
  • ২. একটি স্কেলার α\alpha দিয়ে দুটি ভেক্টর u,v∈Vu,v\in V এর ক্রসগুণনকে গুণ করা যায়। এবং সেক্ষেত্রে-
(αu⃗)×v⃗=α(u⃗×v⃗)=u⃗×(αv⃗) \begin{align*} (\alpha \vec{u})\times \vec{v} = \alpha(\vec{u}\times\vec{v})=\vec{u}\times(\alpha \vec{v}) \end{align*}
  • ৩. ক্রসগুণন distributive। তিনটি ভেক্টর u,v,w∈Vu,v,w\in V হলে-
u⃗×(v⃗+w⃗)=u⃗×v⃗+u⃗×w⃗ \begin{align*} \vec{u}\times(\vec{v}+\vec{w})=\vec{u}\times\vec{v}+\vec{u}\times\vec{w} \end{align*}
  • ৪. তিনটি ভেক্টর u,v,w∈Vu,v,w\in V এর জন্য -
u⃗.(v⃗×w⃗)=(u⃗×v⃗).w⃗ \begin{align*} \vec{u}.(\vec{v}\times\vec{w})=(\vec{u}\times\vec{v}).\vec{w} \end{align*}

এবং

u⃗×(v⃗×w⃗)=v⃗(u⃗.w⃗)−w⃗(u⃗.v⃗) \begin{align*} \vec{u}\times(\vec{v}\times\vec{w})=\vec{v}(\vec{u}.\vec{w})-\vec{w}(\vec{u}.\vec{v}) \end{align*}
  • ৫. দুটি ভেক্টরের কোনটিই যদি নাল ভেক্টর না হয় এবং তারা পরস্পরের সমান্তরাল হয়, তাহলে তাদের ক্রসগুণফল শূন্য হবে। অর্থাৎ u,v∈Vu,v\in V যদি একে অপরের সমান্তরাল হয় তাহলে-
u⃗×v⃗=0 \begin{align*} \vec{u}\times\vec{v}=0 \end{align*}

দুইটি ভেক্টর ক্রসগুণফল শূন্য হলে তারা একে অপরের সমান্তরাল।

একই বেসিস ভেক্টরগুলো পরস্পরের সাথে সমান্তরাল, সেহেতু তাদের মধ্যকার ক্রসগুণন সবসময়ই শূণ্য হবে; অর্থাৎ-

e^x×e^x=e^y×e^y=e^z×e^z=0\begin{align} \hat{e}_x\times\hat{e}_x=\hat{e}_y\times\hat{e}_y=\hat{e}_z\times\hat{e}_z=0 \end{align}

আবার ভিন্ন ভিন্ন বেসিস ভেক্টরের জন্য -

e^x×e^y=e^ze^y×e^z=e^xe^z×e^x=e^y \begin{equation} \begin{aligned} \hat{e}_x\times\hat{e}_y &=\hat{e}_z\\ \hat{e}_y\times\hat{e}_z &=\hat{e}_x\\ \hat{e}_z\times\hat{e}_x &=\hat{e}_y \end{aligned} \end{equation}

উপাংশের সাহায্যে ক্রসগুণন

মনেকরো ত্রিমাত্রিক ভেক্টরস্পেসে দুটি ভেক্টর u⃗,v⃗\vec{u},\vec{v} দেওয়া আছে। এবং উপাংশের সাহায্যে এদের লিখতে পারো এভাবে -

u⃗=uxe^x+uye^y+uze^zv⃗=vxe^x+vye^y+vze^z\begin{align*} \vec{u} &= u_x\hat{e}_x+u_y\hat{e}_y+u_z\hat{e}_z\\ \vec{v} &= v_x\hat{e}_x+v_y\hat{e}_y+v_z\hat{e}_z \end{align*}

তাহলে এদের ক্রসগুণন হচ্ছে-

u⃗×v⃗=(uxe^x+uye^y+uze^z)×(vxe^x+vye^y+vze^z)\begin{align} \vec{u}\times \vec{v} &= (u_x\hat{e}_x+u_y\hat{e}_y+u_z\hat{e}_z)\times(v_x\hat{e}_x+v_y\hat{e}_y+v_z\hat{e}_z) \end{align}

ক্রসগুণনটিকে বিস্তার করে পাবে-

[পুরো ক্যালকুলেশন দেখতে এখানে ক্লিক করো!] u⃗×v⃗=uxvx(e^x×e^x)+uxvy(e^x×e^y)+uxvz(e^x×e^z)+uyvx(e^y×e^x)+uyvy(e^y×e^y)+uyvz(e^y×e^z)+uzvx(e^z×e^x)+uzvy(e^z×e^y)+uzvz(e^z×e^z)\begin{align*} \vec{u}\times \vec{v} &=u_x v_x (\hat{e}_x\times\hat{e}_x)\\ &+u_x v_y (\hat{e}_x\times\hat{e}_y)\\ &+u_x v_z (\hat{e}_x\times\hat{e}_z)\\ &+u_y v_x (\hat{e}_y\times\hat{e}_x)\\ &+u_y v_y (\hat{e}_y\times\hat{e}_y)\\ &+u_y v_z (\hat{e}_y\times\hat{e}_z)\\ &+u_z v_x (\hat{e}_z\times\hat{e}_x)\\ &+u_z v_y (\hat{e}_z\times\hat{e}_y)\\ &+u_z v_z (\hat{e}_z\times\hat{e}_z) \end{align*}

যেহেতু, e^x×e^x=e^y×e^y=e^z×e^z=0\hat{e}_x\times\hat{e}_x=\hat{e}_y\times\hat{e}_y=\hat{e}_z\times\hat{e}_z=0 এবং e^x×e^y=e^z\hat{e}_x\times\hat{e}_y=\hat{e}_z , e^y×e^z=e^x\hat{e}_y\times\hat{e}_z=\hat{e}_x এবং e^z×e^x=e^y\hat{e}_z\times\hat{e}_x=\hat{e}_y, উপরের সমীকরণে বসিয়ে পাবে-

u⃗×v⃗=0+uxvy(e^z)+uxvz(−e^y)+uyvx(−e^z)+0+uyvz(e^x)+uzvx(e^y)+uzvy(−e^x)+0=(uyvz−uzvy)e^x+(uzvx−uxvz)e^y+(uxvy−uyvx)e^z\begin{align*} \vec{u}\times \vec{v} &=0 +u_x v_y (\hat{e}_z) +u_x v_z (-\hat{e}_y) +u_y v_x (-\hat{e}_z) +0 +u_y v_z (\hat{e}_x) +u_z v_x (\hat{e}_y) +u_z v_y (-\hat{e}_x) +0\\ &= (u_y v_z-u_z v_y)\hat{e}_x+( u_z v_x -u_x v_z )\hat{e}_y + (u_x v_y-u_y v_x)\hat{e}_z \end{align*}

অর্থাৎ

u⃗×v⃗=(uyvz−uzvy)e^x−(uxvz−uzvx)e^y+(uxvy−uyvx)e^z\begin{align} \vec{u}\times \vec{v} &=(u_y v_z-u_z v_y)\hat{e}_x-(u_x v_z - u_z v_x)\hat{e}_y + (u_x v_y-u_y v_x)\hat{e}_z \end{align}

এটিকে ডিটারমিনেন্টের সাহায্যে প্রকাশ করলে বুঝতে আরও সহজ হবে-

u⃗×v⃗=∣uyuzvyvz∣e^x−∣uxuzvxvz∣e^y+∣uxuyvxvy∣e^z\begin{align*} \vec{u}\times\vec{v}&= \begin{vmatrix} u_y & u_z\\ v_y & v_z \end{vmatrix} \hat{e}_x- \begin{vmatrix} u_x & u_z\\ v_x & v_z \end{vmatrix} \hat{e}_y+ \begin{vmatrix} u_x & u_y\\ v_x & v_y \end{vmatrix} \hat{e}_z \end{align*}

আরও গুছিয়ে লিখলে পাচ্ছো-

u⃗×v⃗=∣e^xe^ye^zuxuyuzvxvyvz∣\begin{align} \vec{u}\times\vec{v}&= \begin{vmatrix} \hat{e}_x & \hat{e}_y & \hat{e}_z\\ u_x & u_y & u_z\\ v_x & v_y & v_z \end{vmatrix} \end{align}

ক্রসগুণফলের মান ও মধ্যবর্তী কোণের পরিমাপ

ক্রসগুণফল একটি ভেক্টর রাশি। এর মান হিসাব করার জন্য ভেক্টরদুটির দৈর্ঘ্য এবং তাদের মধ্যবর্তী কোণের sin⁡\sin এর গুণফল নিতে হবে। অর্থাৎ-

∣u⃗×v⃗∣=∣u∣∣v∣sin⁡θ=∣u∣∣v∣1−(u^.v^)2\begin{align} |\vec{u}\times\vec{v}| &=|u||v|\sin\theta\\ &=|u||v|\sqrt{1-(\hat{u}.\hat{v})^2} \end{align}

অথবা ভেক্টরগুলো যদি উপাংশের সাহায্যে প্রকাশ করা হয়, তাহলে এভাবেও তাদের মান হিসাব করা যায়-

∣u⃗×v⃗∣=(uyvz−uzvy)2−(uxvz−uzvx)2+(uxvy−uyvx)2\begin{align} |\vec{u}\times\vec{v}| &=\sqrt{(u_y v_z- u_z v_y)^2-(u_x v_z - u_z v_x)^2+(u_x v_y- u_y v_x)^2} \end{align}

u⃗,v⃗\vec{u},\vec{v} এর ক্রসগুণফলের ইউনিট নরমাল ভেক্টর হিসাব করার জন্য তাদের ক্রসগুণফলকে তার মান দিয়ে ভাগ করতে হবে। অর্থাৎ-

n^=u⃗×v⃗∣u⃗×v⃗∣\begin{align} \hat{n} &= \dfrac{\vec{u}\times\vec{v}}{|\vec{u}\times\vec{v}|} \end{align}

এবং ভেক্টরদুটির মধ্যবর্তী কোণের মান-

θ=sin⁡−1(u⃗×v⃗∣u⃗∣∣v⃗∣)\begin{align} \theta &=\sin^{-1}\left( \dfrac{\vec{u}\times\vec{v}}{|\vec{u}||\vec{v}|}\right) \end{align}

লক্ষ্যকরো যে, যদি u⃗×v⃗=0\vec{u}\times\vec{v}=0 হয়, তাহলে উপরের সূত্র অনুযায়ী θ=0∘\theta=0^\circ হবে। অর্থাৎ ভেক্টরদুটি পরস্পরের উপর লম্ব হবে। আর যদি θ=180∘\theta=180^\circ হয় তাহলে ভেক্টরদুটি পরস্পরের সমান্তরাল কিন্তু বিপরীতমুখী হবে।

◄  ভেক্টর রাশির ডট গুণনসূচীপত্র  ►